Mean Value Theorem
목차 1 . 개요2 . 상세3 . 코시의 평균값 정리4 . 활용5 . 관련 문서미분 가능한 함수에 관한 정리로,
라이프니츠 가 최초로 고안해냈고 이후의 학자들에 의해 여러 바리에이션과 마개조를 거친 이론들이 꽃을 피우게 된다. 한국에선 고등학교
수학 II 를 배울 때 기본적인 평균변화율의 개념을 처음 접하게 된다.
고등학교에서 배우는 평균값의 정리는 다음과 같다.
함수
f ( x ) f\left(x\right) f ( x ) 가 닫힌 구간
[ a , b ] \left[a, b\right] [ a , b ] 에서 연속이고 열린 구간
( a , b ) \left(a, b\right) ( a , b ) 에서 미분가능하면
f ( b ) − f ( a ) b − a = f ′ ( c ) , c ∈ ( a , b ) \displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} = f'\left(c\right), c \in \left(a, b\right) b − a f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( c ) , c ∈ ( a , b ) 인
c c c 가 적어도 하나 존재한다.
기하학적으로 해석하면 두 점
A ( a , f ( a ) ) , B ( b , f ( b ) ) A\left(a, f\left(a\right)\right), B\left(b, f\left(b\right)\right) A ( a , f ( a ) ) , B ( b , f ( b ) ) 를 연결하는 직선과 평행한 접선이 구간
( a , b ) \left(a, b\right) ( a , b ) 안에 적어도 하나 존재한다는 뜻이다. 만약
f ( a ) = f ( b ) f\left(a\right) = f\left(b\right) f ( a ) = f ( b ) 이면
롤의 정리 가 성립한다. 즉, 평균값의 정리는
롤의 정리 의 일반화라고 할 수 있다.
이 정리 덕에 부정적분값에 상수만 붙이는게 정당화된다. 즉,
F ′ ( x ) = f ( x ) F'\left(x\right) = f\left(x\right) F ′ ( x ) = f ( x ) 일 때 미분하여
f ( x ) f\left(x\right) f ( x ) 가 되는 함수는
F ( x ) + C F\left(x\right)+C F ( x ) + C 꼴
뿐이다 .
미분을 배워보면 알겠지만
미적분의 기본정리 를 접하기 전 단계에서는 미분에서 가장 중요한 근간이 되는 정리이다. 미분 문제, 특히 접선을 이용한 방정식과 부등식류의 문제를 풀다가 잘 모르겠을 때는 평균값 정리를 적용하면 쉽게 풀리는 경우가 대부분이다.
증명
점
( a , f ( a ) ) \left(a,f(a)\right) ( a , f ( a ) ) 와 점
( b , f ( b ) ) \left(b,f(b)\right) ( b , f ( b ) ) 를 지나는 직선의 방정식을
y = l ( x ) y=l(x) y = l ( x ) 라고 하자.
F ( x ) = f ( x ) − l ( x ) F(x)=f(x)-l(x) F ( x ) = f ( x ) − l ( x ) 라 두면, 이 함수는
[ a , b ] \left[a,b\right] [ a , b ] 에서 연속이고
( a , b ) \left(a,b\right) ( a , b ) 에서 미분가능하며,
F ( a ) = 0 , F ( b ) = 0 F(a)=0, F(b)=0 F ( a ) = 0 , F ( b ) = 0 이므로
롤의 정리 에 의하여
F ′ ( c ) = f ′ ( c ) − l ′ ( c ) = 0 F'(c)=f'(c)-l'(c)=0 F ′ ( c ) = f ′ ( c ) − l ′ ( c ) = 0 인
c ∈ ( a , b ) c \in \left(a,b\right) c ∈ ( a , b ) 가 존재한다.
l ′ ( c ) = m = f ( b ) − f ( a ) b − a l'(c)=m= \displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} l ′ ( c ) = m = b − a f ( b ) − f ( a ) 이므로
f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a f'(c)=\displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} f ′ ( c ) = b − a f ( b ) − f ( a ) 이다.
평균값 정리의 기하학적 의미는 곡선
y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) 위의 두 점
( a , f ( a ) ) (a, f(a)) ( a , f ( a )) 와
( b , f ( b ) ) (b, f(b)) ( b , f ( b )) 를 지나는 선분과 곡선
y = f ( x ) y = f(x) y = f ( x ) 위에 어떤 점이 존재하여 그 점에서의 접선이 평행하다는 것을 뜻한다.
파일:나무_평균값정리_기하학적의미.png 앞의 평균값 정리에서
b − a = h b-a = h b − a = h 라 하면
c − a < b − a c-a < b-a c − a < b − a 이므로
0 < c − a h < 1 0<\displaystyle {c-a \over h}<1 0 < h c − a < 1 이 된다. 여기서
θ = c − a h \theta =\displaystyle {c-a \over h} θ = h c − a 로 놓으면 평균값 정리는
f ( a + h ) = f ( a ) + h f ′ ( a + θ h ) f(a+h) = f(a) + hf'(a + \theta h) f ( a + h ) = f ( a ) + h f ′ ( a + θ h ) ,
0 < θ < 1 0< \theta < 1 0 < θ < 1 와 같이 나타낼 수 있다. 즉, 가까운 두 점을 한 점의 함수값과 그 점 인근의 미분값을 이용해서 계산할 수 있다는 것이며, 이것이 바로 선형근사의 기본 접근방식이다.
고등학교에서 배우는 평균값의 정리를 좀 더 일반화한 버전으로, 내용은 다음과 같다.
함수
f ( x ) f\left(x\right) f ( x ) 와
g ( x ) g\left(x\right) g ( x ) 가 닫힌 구간
[ a , b ] \left[a, b\right] [ a , b ] 에서 연속이고 열린 구간
( a , b ) \left(a, b\right) ( a , b ) 에서 미분가능하면
f ′ ( c ) [ g ( b ) − g ( a ) ] = g ′ ( c ) [ f ( b ) − f ( a ) ] f'\left(c\right)\left[g\left(b\right)-g\left(a\right)\right] = g'\left(c\right)\left[f\left(b\right)-f\left(a\right)\right] f ′ ( c ) [ g ( b ) − g ( a ) ] = g ′ ( c ) [ f ( b ) − f ( a ) ] 인
c c c 가
( a , b ) \left(a, b\right) ( a , b ) 내에 적어도 하나 존재한다.
여기서
g ( x ) = x g\left(x\right) = x g ( x ) = x 라 두면 우리가 보통 알고 있는 평균값의 정리가 된다.
증명
F ( x ) = f ( x ) { g ( b ) − g ( a ) } − g ( x ) { f ( b ) − f ( a ) } F\left(x\right) = f\left(x\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\}-g\left(x\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\} F ( x ) = f ( x ) { g ( b ) − g ( a ) } − g ( x ) { f ( b ) − f ( a ) } 라 정의하자. 그럼
F F F 는 닫힌구간
[ a , b ] \left[a, b\right] [ a , b ] 에서 연속이고 열린구간
( a , b ) \left(a, b\right) ( a , b ) 에서 미분가능하다.
또한,
F ( a ) = F ( b ) = f ( a ) g ( b ) − g ( a ) f ( b ) F\left(a\right)=F\left(b\right)=f\left(a\right)g\left(b\right)-g\left(a\right)f\left(b\right) F ( a ) = F ( b ) = f ( a ) g ( b ) − g ( a ) f ( b ) 이므로
롤의 정리 에 의해
F ′ ( c ) = 0 F'\left(c\right) = 0 F ′ ( c ) = 0 를 만족하는
c ∈ ( a , b ) c\in \left(a, b\right) c ∈ ( a , b ) 가 존재한다.
그러면
F ′ ( x ) = f ′ ( x ) { g ( b ) − g ( a ) } − g ′ ( x ) { f ( b ) − f ( a ) } F'\left(x\right) = f'\left(x\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\}-g'\left(x\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\} F ′ ( x ) = f ′ ( x ) { g ( b ) − g ( a ) } − g ′ ( x ) { f ( b ) − f ( a ) } 이므로,
f ′ ( c ) { g ( b ) − g ( a ) } = g ′ ( c ) { f ( b ) − f ( a ) } f'\left(c\right)\left\{g\left(b\right)-g\left(a\right)\right\} = g'\left(c\right)\left\{f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\} f ′ ( c ) { g ( b ) − g ( a ) } = g ′ ( c ) { f ( b ) − f ( a ) }
여러 가지 활용이 있겠지만, 함수의 그래프를 그리는 방법이 가장 익숙할 것이다.
함수
f f f 가
( a , b ) \left(a, b\right) ( a , b ) 에서 미분가능하고 모든
x ∈ ( a , b ) x\in(a,b) x ∈ ( a , b ) 에 대해
f ′ ( x ) > 0 f'\left(x\right) > 0 f ′ ( x ) > 0 이면,
f f f 는 그 구간에서 증가한다.
증명
열린 구간
( a , b ) \left(a,b\right) ( a , b ) 안에서 임의의 실수
x 1 , x 2 x_1, x_2 x 1 , x 2 를
x 1 < x 2 x_1<x_2 x 1 < x 2 가 되게 잡는다. 그럼
f f f 는
[ x 1 , x 2 ] \left[x_1, x_2\right] [ x 1 , x 2 ] 에서 연속이고
( x 1 , x 2 ) \left(x_1, x_2\right) ( x 1 , x 2 ) 에서 미분가능하다.
따라서 평균값의 정리에 의해
f ′ ( x 0 ) = f ( x 2 ) − f ( x 1 ) x 2 − x 1 \displaystyle f'\left(x_0\right) = \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1} f ′ ( x 0 ) = x 2 − x 1 f ( x 2 ) − f ( x 1 ) 를 만족하는
x 0 x_0 x 0 가
( x 1 , x 2 ) \left(x_1, x_2\right) ( x 1 , x 2 ) 내에 적어도 하나 존재한다. 또한
x 2 − x 1 > 0 , f ′ ( x 0 ) > 0 x_2-x_1 > 0, f'\left(x_0\right) > 0 x 2 − x 1 > 0 , f ′ ( x 0 ) > 0 이므로
f ( x 2 ) − f ( x 1 ) > 0 f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right) > 0 f ( x 2 ) − f ( x 1 ) > 0 이다. 즉,
f ( x 1 ) < f ( x 2 ) f\left(x_1\right) < f\left(x_2\right) f ( x 1 ) < f ( x 2 ) 가 성립한다.
x 1 , x 2 x_1, x_2 x 1 , x 2 는 구간 안의 임의의 값이므로
f f f 는 구간 내에서 증가한다.
함수
f f f 가
( a , b ) \left(a, b\right) ( a , b ) 에서 미분가능하고모든
x ∈ ( a , b ) x\in(a,b) x ∈ ( a , b ) 에 대해
f ′ ( x ) < 0 f'\left(x\right) < 0 f ′ ( x ) < 0 이면,
f f f 는 그 구간에서 감소한다.
어떤 한 점에서 미분가능성을 모를 때, 주변 미분계수의 극한을 관찰함으로써 미분가능성을 판정할 수도 있다.
실수
a a a 를 포함하는 열린구간
I I I 에서 정의된 함수
f f f 가 있을 때,
f f f 가
a a a 에서 연속이고
I − { a } I-\left\{a\right\} I − { a } 에서 미분가능하며,
lim x → a f ′ ( x ) = L \displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=L x → a lim f ′ ( x ) = L 이면(
L L L 은 실수)
f f f 는
a a a 에서 미분가능하고
f ′ ( a ) = L f'\left(a\right)=L f ′ ( a ) = L 이다.
증명
<bgcolor=math>displaystyle lim_{xto a}f'left(xright)=L</math>이므로 임의의 양수
ε \varepsilon ε 에 대하여 양수
δ ( ε ) \delta \left(\varepsilon\right) δ ( ε ) 가 존재하여
0 < ∣ x − a ∣ < δ ( ε ) 0<\left|x-a\right|<\delta\left(\varepsilon\right) 0 < ∣ x − a ∣ < δ ( ε ) 인 임의의
x ∈ I x \in I x ∈ I 에 대해
∣ f ′ ( x ) − L ∣ < ε \left|f'\left(x\right)-L\right|<\varepsilon ∣ f ′ ( x ) − L ∣ < ε 이다.
한편 평균값 정리에 의하여 임의의
x ∈ I − { a } x\in I-\left\{a\right\} x ∈ I − { a } 에 대해
f ( x ) − f ( a ) x − a = f ′ ( c ) \displaystyle {f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}=f'\left(c\right) x − a f ( x ) − f ( a ) = f ′ ( c ) 인
c c c 가
a a a 와
x x x 사이에 존재한다. 즉,
0 < ∣ c − a ∣ < ∣ x − a ∣ 0<\left|c-a\right|<\left|x-a\right| 0 < ∣ c − a ∣ < ∣ x − a ∣ 이다.
그러면
x ∈ I x \in I x ∈ I 이고
0 < ∣ x − a ∣ < δ ( ε ) 0<\left|x-a\right|<\delta\left(\varepsilon\right) 0 < ∣ x − a ∣ < δ ( ε ) 일 때
∣ f ( x ) − f ( a ) x − a − L ∣ = ∣ f ′ ( c ) − L ∣ < ε \displaystyle \left|{f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}-L\right|=\left|f'\left(c\right)-L\right|<\varepsilon x − a f ( x ) − f ( a ) − L = ∣ f ′ ( c ) − L ∣ < ε 이 성립하므로
lim x → a f ( x ) − f ( a ) x − a = L \displaystyle \lim_{x\to a}{f\left(x\right)-f\left(a\right)\over x-a}=L x → a lim x − a f ( x ) − f ( a ) = L 이다. 따라서
f f f 는
a a a 에서 미분가능하고
f ′ ( a ) = L f'\left(a\right)=L f ′ ( a ) = L 이다.
참고로
lim x → a f ′ ( x ) = ± ∞ \displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=\pm\infty x → a lim f ′ ( x ) = ± ∞ 이면
f f f 가
a a a 에서 미분가능하지 않고,
lim x → a f ′ ( x ) \displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right) x → a lim f ′ ( x ) 가 수렴하지도, 무한대로 발산하지도 않는경우 이 방법으로는 미분가능성을 판단할 수 없다. 로피탈의 정리와 사용조건이 같다는 걸 알 수 있다.
대학교 미분적분학에 등장한다. 이 정리는 주어진 곡선에 대한 면적과 같은 직사각형을 구하는 데 도움을 준다.
함수
f f f 가 실수상에 속하는 폐구간
[ a , b ] [a, b] [ a , b ] 에서 연속함수 이면,
1 b − a ∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) \displaystyle \frac{1}{b-a}\int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x = f(c) b − a 1 ∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) 를 만족하는
c ∈ ( a , b ) c\in(a, b) c ∈ ( a , b ) 가 존재한다.
증명
f f f 가
[ a , b ] [a, b] [ a , b ] 에서 연속이므로 최대, 최소값의 정리에 의하여
M = sup { f ( x ) ∣ x ∈ [ a , b ] } M = \sup\{f(x)|x\in[a, b]\} M = sup { f ( x ) ∣ x ∈ [ a , b ]} ,
m = inf { f ( x ) ∣ x ∈ [ a , b ] } m = \inf \{f(x)|x\in[a, b]\} m = inf { f ( x ) ∣ x ∈ [ a , b ]} 가 존재한다. 따라서 모든
x ∈ [ a , b ] x\in[a, b] x ∈ [ a , b ] 에 대하여
m ≤ f ( x ) ≤ M m\le f(x)\le M m ≤ f ( x ) ≤ M 이므로 적분의 대소 비교 성질에 의하여
m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) m(b - a)\le \displaystyle \int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x\le M(b - a) m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) 이다. 그러므로 다음이 성립한다.
m ≤ 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x ≤ M m\le \displaystyle \frac{1}{b-a}\int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x \le M m ≤ b − a 1 ∫ a b f ( x ) d x ≤ M f f f 는
[ a , b ] [a, b] [ a , b ] 에서 연속이므로,
중간값의 정리 에 의하여
1 b − a ∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) \displaystyle \frac{1}{b-a}\int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x = f(c) b − a 1 ∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) 를 만족하는
c ∈ ( a , b ) c\in(a, b) c ∈ ( a , b ) 가 존재한다.
Gauss's Mean Value Theorem
함수
f f f 가 닫힌 원
∣ z − z 0 ∣ ≤ r \left|z-z_{0}\right|\leq r ∣ z − z 0 ∣ ≤ r 에서 해석적(Analytic)이라고 하면,
f ( z 0 ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( z 0 + r e i θ ) d θ f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi}}\int_{0}^{2\pi}f(z_{0}+re^{i\theta})\mathrm{d}\theta f ( z 0 ) = 2 π 1 ∫ 0 2 π f ( z 0 + r e i θ ) d θ 이다.
증명
코시 적분 공식
f ( z 0 ) = 1 2 π i ∫ C f ( z ) z − z 0 d z f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}}\int_{\mathcal{C}}\displaystyle{\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z} f ( z 0 ) = 2 πi 1 ∫ C z − z 0 f ( z ) d z 에서,
C : z 0 + r e i θ \mathcal{C}:z_{0}+re^{i\theta} C : z 0 + r e i θ 라고 하자.
즉,
f ( z 0 ) = 1 2 π i ∫ ∣ z − z 0 ∣ = r f ( z ) z − z 0 d z f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}}\int_{\left|z-z_{0}\right|=r}\displaystyle{\frac{f(z)}{z-z_{0}}\mathrm{d}z} f ( z 0 ) = 2 πi 1 ∫ ∣ z − z 0 ∣ = r z − z 0 f ( z ) d z 인데,
z − z 0 = z 0 + r e i θ − z 0 = r e i θ z-z_{0}=z_{0}+re^{i\theta}-z_{0}=re^{i\theta} z − z 0 = z 0 + r e i θ − z 0 = r e i θ 이므로,
d z = i r e i θ d θ \mathrm{d}z=ire^{i\theta}\mathrm{d}\theta d z = i r e i θ d θ 가 되고,
f ( z 0 ) = 1 2 π i ∫ 0 2 π f ( z 0 + r e i θ ) r e i θ i r e i θ d θ f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i}}\int_{0}^{2\pi}\displaystyle{\frac{f(z_{0}+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}ire^{i\theta}\mathrm{d}\theta} f ( z 0 ) = 2 πi 1 ∫ 0 2 π r e i θ f ( z 0 + r e i θ ) i r e i θ d θ 가 된다.
정리하면
f ( z 0 ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( z 0 + r e i θ ) d θ f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi}}\int_{0}^{2\pi}f(z_{0}+re^{i\theta})\mathrm{d}\theta f ( z 0 ) = 2 π 1 ∫ 0 2 π f ( z 0 + r e i θ ) d θ 가 성립한다.
적분 평균값 정리에서
a = 0 , b = 2 π , x = z 0 + r e i θ , c = z 0 a=0, b=2\pi, x=z_{0}+re^{i\theta}, c=z_{0} a = 0 , b = 2 π , x = z 0 + r e i θ , c = z 0 라고 둘 경우의 경우와 일치한다.
x x x 를
C \mathbb{C} C 상에서 범위
X : ∣ z 0 − y ∣ ≤ r X:\left|z_{0}-y\right|\leq r X : ∣ z 0 − y ∣ ≤ r 의 경계선으로 보면,
c = z 0 → c ∈ X c=z_{0}\to c\in X c = z 0 → c ∈ X 이기 때문.
